Lecciones de Matemática, 5: Análisis Funcional

Argumento de Lecciones de Matemática, 5: Análisis Funcional

El presente libro se caracteriza por una exposición breve y clara de los temas tratados, valiéndose de analogías y sin entrar en detalles innecesarios. Se presta especial atención a la interrelación de los resultados y al enfoque general del material considerado.

El contenido corresponde al curso habitual de análisis funcional impartido en las universidades. Además de los espacios funcionales y operadores lineales, se tratan la teoría de la medida, la integral de Lebesgue, las funciones generalizadas, algunos elementos de análisis no lineal, los operadores positivos, etcétera.

Para estudiantes, profesores, ingenieros y científicos.0Introducción a la serie Lecciones de Matemática
Prólogo al presente volumen
1 Conjuntos, espacios, aplicaciones
1.1. Operaciones y correspondencias
1.2. Axioma de elección
1.3. Desigualdades
1.4. Espacios métricos
1.5. Espacios lineales
1.6. Transformaciones continuas
1.7. Convexidad
1.8. Dificultades iniciales
2 Espacios métricos y espacios normados
2.1. De nuevo sobre la métrica
2.2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
2.3. Convergencia
2.4. Completamiento de un espacio
2.5. Categorías de Baire
2.6. Espacios de Banach y espacios de Hilbert
2.7. Espacios cociente
2.8. Efectos anormales
3 Teoría de la medida
3.1. Medida de Lebesgue
3.2. Sobre lo que no se ha hablado aún
3.3. Funciones medibles
3.4. Integral de Lebesgue
3.5. Los espacios L1 y Loo
3.6. Tipos de convergencia
3.7. Paso al límite bajo el signo de la integral
3.8. Continuidad absoluta de la integral de Lebesgue
3.9. Construcción de Stieltjes
3.10. Producto de medidas. Teorema de Fubini
3.11. Problemas y complementos
4 Compacidad
4.1. Conjuntos compactos
4.2. Criterios de compacidad en C y Lp
4.3. Instrumentos y propiedades
5 Punto de vista topológico
5.1. Espacios topológicos
5.2. Espacios lineales
5.3. Topología débil
5.4. Problemas y complementos
6 Operadores lineales en espacios normados
6.1. Conceptos fundamentales
6.2. Teorema de Hahn--Banach
6.3. Espacios duales
6.4. Convergencia débil
6.5. Compacidad débil
6.6. Convexidad ideal
6.7. Principio de acotación uniforme
6.8. Teorema de la aplicación abierta
6.9. Operadores cerrados
6.10. Operador inverso
6.11. Operadores compactos
6.12. Proyectores
6.13. Complementos
7 Operadores en espacios de Hilbert
7.1. Preámbulo
7.2. Base ortonormal
7.3. Series ortogonales
7.4. Operadores adjuntos
7.5. Problemas y complementos
8 Funciones generalizadas
8.1. Conceptos fundamentales
8.2. Derivación
8.3. Convolución de funciones generalizadas
8.4. Ecuaciones diferenciales
8.5. Series divergentes
9 Ecuaciones
9.1. Ecuaciones lineales
9.2. Elección del espacio
9.3. Ecuaciones de Fredholm
9.4. Iteraciones sucesivas
9.5. Métodos de proyección
9.6. Regularización
9.7. Complementos
10 Teoría espectral
10.1. Conceptos fundamentales
10.2. Planteamiento general
10.3. Radio espectral
10.4. Operadores compactos
10.5. Operadores autoadjuntos
10.6. Funciones de operadores
11 Elementos de análisis no lineal
11.1. Operadores no lineales
11.2. Derivadas y diferenciales
11.3. Gradiente de un funcional
11.4. Principio de contracción
11.5. Teorema de la función implícita
11.6. Principio de Schauder
11.7. Vectores propios
12 Operadores positivos
12.1. Conos en los espacios de Banach
12.2. Operadores positivos
12.3. Estimación del radio espectral
12.4. Espectro positivo
12.5. Puntos fijos
12.6. Principio de Birkhoff--Tarski
12.7. Problemas y complementos
13 Resumen de las definiciones y resultados fundamentales
13.1. Espacios métricos y espacios normados
13.2. Integral y medida de Lebesgue
13.3. Compacidad y topología
13.4. Operadores y funcionales lineales
13.5. Funciones generalizadas
13.6. Ecuaciones lineales
13.7. Teoría espectral
13.8. Elementos de análisis no lineal
13.9. Operadores positivos
13.10. Espacios
Abreviaturas y notaciones
Bibliografía
Índice de materias